मूल बिंदु से गुजरने वाले और X-अक्ष पर केंद्र | vedclass

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Question

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $(a, 0)$ केंद्र है और $a$ त्रिज्या ह

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$y^2=x^2+2xy \frac{dy}{dx}$

Vedclass · Answer

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-0)^2 = a^2$ है,जहाँ $(a, 0)$ केंद्र है और $a$ त्रिज्या है। इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 2ax = 0 ... (i)$ के रूप में सरल हो जाता है। समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2x + 2y \frac{dy}{dx} ... (ii)$। समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - x(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 0$ प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$। अतः,$y^2 - x^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जो $y^2 = x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ देता है।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले सभी वृत्तों का अवकल समीकरण है:

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