तीन परस्पर लंबवत रेखाओं,जिनकी दिक्कोज्याएँ (l | vedclass

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Question

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं।चूंकि रेखा तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण पर झुकी हुई है,इसलिए प्रत्येक रेखा के साथ क

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$\frac{l_1 + l_2 + l_3}{\sqrt{3}}, \frac{m_1 + m_2 + m_3}{\sqrt{3}}, \frac{n_1 + n_2 + n_3}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की दिक्कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं।चूंकि रेखा तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण पर झुकी हुई है,इसलिए प्रत्येक रेखा के साथ कोण $	heta$ समान है।माना $\cos 	heta = k$.तब,$l l_1 + m m_1 + n n_1 = k$,$l l_2 + m m_2 + n n_2 = k$,और $l l_3 + m m_3 + n n_3 = k$.इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:$(l l_1 + m m_1 + n n_1)^2 + (l l_2 + m m_2 + n n_2)^2 + (l l_3 + m m_3 + n n_3)^2 = 3k^2$.ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के गुण के अनुसार,किसी भी सदिश $(l, m, n)$ के लिए,$\sum (l l_i + m m_i + n n_i)^2 = l^2 + m^2 + n^2 = 1$.अतः,$3k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.अब,सदिश $\vec{v} = (l_1+l_2+l_3, m_1+m_2+m_3, n_1+n_2+n_3)$ पर विचार करें।इस सदिश का परिमाण $\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2 + (m_1+m_2+m_3)^2 + (n_1+n_2+n_3)^2}$ है।चूंकि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,वर्गों का योग $1+1+1 = 3$ हो जाता है।इस प्रकार,इस दिशा में इकाई सदिश $\left( \frac{l_1+l_2+l_3}{\sqrt{3}}, \frac{m_1+m_2+m_3}{\sqrt{3}}, \frac{n_1+n_2+n_3}{\sqrt{3}} ight)$ है।

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