$1, 1, 2$ અને $\sqrt{3}, -\sqrt{3}, 0$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકના દિશા ગુણોત્તર શું છે?

વિધાન $1:$ રેખાઓ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ અને $\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\sqrt{2}$ છે.
વિધાન $2:$ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ એક રેખા પરના કોઈપણ બિંદુથી બીજી રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.

જો $(2\alpha + 1, \alpha^2 - 3\alpha, \frac{\alpha - 1}{2})$ એ રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ માં $(\alpha, 2\alpha, 1)$ નું પ્રતિબિંબ હોય, તો $\alpha$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) કઈ છે?

ધારો કે બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ સદિશો $2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ બંનેને લંબ છે. જો $P(a, b, c)$ એ ઉગમબિંદુમાંથી રેખા $L$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોય, તો $34(a + b + c)$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $(0, 2, 3)$ થી રેખા $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3}$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ શોધો.

બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $\vec{OP} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાંની એક રેખા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ ની દિશામાંની બીજી રેખા બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય છે. જો સદિશ $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ની દિશામાંની એક રેખા સદિશ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વાળી બંને રેખાઓને અનુક્રમે $L$ અને $M$ બિંદુએ છેદે,તો $\vec{PM} =$