એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $16$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\sqrt{2}$ છે. તેનું સમીકરણ શોધો.

સમીકરણ $x^2 - 4y^2 - 2x + 16y - 40 = 0$ શું દર્શાવે છે?

અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે રેખા $y = 3x + 4$ ને સમાંતર હોય,તે છે:

$(0,0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા અતિવલયનો મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે અને તેની લંબાઈ $12$ છે. જો $(8,2)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો અતિવલય ઉપવલયના નાભિમાંથી પસાર થાય,તો:

જો સમીકરણ $x^2 - 5x - 14 = 0$ ના બીજ પૈકીનું એક બીજ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની અર્ધ-અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ હોય અને બીજા બીજનો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ હોય,તો ધન $x$-અક્ષ પર આવેલા અતિવલયનું નાભિ કયું છે?