${\sin ^{ - 1}}({\log _3}x)$ का प्रांत (domain) है

मान लीजिए $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि फलन $f(x) = \sin^{-1} \left( \frac{x+[x]}{3} \right)$ का प्रांत $[\alpha, \beta)$ है, तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{\pi}{3}\right)$ का मान क्या है?

यदि फलन $f(x) = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{5x+3}\right)$ का प्रांत (domain) $[\alpha, \beta) \cup (\gamma, \delta]$ है,तो $|3\alpha + 10(\beta + \gamma) + 21\delta|$ का मान $.......$ होगा।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को ध्यान में रखते हुए,फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{x^{2}-4x+2}{x^{2}+3}\right)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = \sqrt{\sin^{-1}(2x) + \frac{\pi}{6}}$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।