दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 (b | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ और परवलय का समीकरण $y^2=8ax$ $(ii)$ है।$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac

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$\frac{1}{4}$

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(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ और परवलय का समीकरण $y^2=8ax$ $(ii)$ है।$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$ प्राप्त होता है।$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2yy'=8a \Rightarrow y'=\frac{4a}{y}$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।$\left(-\frac{b^2x}{a^2y}ight) 	imes \left(\frac{4a}{y}ight) = -1$$\Rightarrow \frac{4b^2x}{a^2y^2} = 1$ $\Rightarrow 4b^2x = a^2y^2$.$y^2=8ax$ को इस समीकरण में रखने पर:$4b^2x = a^2(8ax)$ $\Rightarrow 4b^2 = 8a^2$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{2}$.दीर्घवृत्त के लिए $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.अतः,$e^4 = (e^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

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