(1,0) से गुजरने वाले और वक्र के किसी भी बिंदु | vedclass

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Question

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{x^2+x}$ दी गई है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{x(x+1)}$ प्राप्त होता है।आंशिक भिन

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$2x-(y-1)(x+1)=0$

Vedclass · Answer

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-1}{x^2+x}$ दी गई है।चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{x(x+1)}$ प्राप्त होता है।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y-1} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) dx$।$\ln|y-1| = \ln|x| - \ln|x+1| + C$।$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + C$।चूंकि वक्र $(1,0)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:$\ln|0-1| = \ln|\frac{1}{1+1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।अतः,$\ln|y-1| = \ln|\frac{x}{x+1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x+1}|$।$y-1 = \frac{2x}{x+1} \implies (y-1)(x+1) = 2x$।पुनर्व्यवस्थित करने पर $2x - (y-1)(x+1) = 0$ प्राप्त होता है।

$(1,0)$ से गुजरने वाले और वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{y-1}{x^2+x}$ वाले वक्र का समीकरण है

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