(1+y^2) dx - xy dy = 0,y(1)=0 का हल एक शांकव | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है,जहाँ $y(1)=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है। चरों को अल

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$\sqrt{2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है,जहाँ $y(1)=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1+y^2}$ मिलता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1+y^2}$। माना $t = 1+y^2$,तब $dt = 2y dy$,अर्थात $y dy = \frac{1}{2} dt$। अतः,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_1 = \ln|\sqrt{1+y^2}| + C_1$। इसका अर्थ है $x = c\sqrt{1+y^2}$। शर्त $y(1)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=0$ रखने पर: $1 = c\sqrt{1+0^2} \implies c=1$। अतः,$x = \sqrt{1+y^2}$,जिसका वर्ग करने पर $x^2 = 1+y^2$ या $x^2 - y^2 = 1$ प्राप्त होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है जहाँ $a^2=1$ और $b^2=1$ है। अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ है।

$(1+y^2) dx - xy dy = 0$,$y(1)=0$ का हल एक शांकव (conic) को दर्शाता है। इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

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