(1+y^2) dx - xy dy = 0,y(1)=0 નો ઉકેલ એક શંકુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$(1+y^2) dx = xy dy$ મળે. ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$(1+y^2) dx = xy dy$ મળે. ચલને અલગ કરતા,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1+y^2}$ મળે. બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1+y^2}$. ધારો કે $t = 1+y^2$,તેથી $dt = 2y dy$,એટલે કે $y dy = \frac{1}{2} dt$. આથી,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_1 = \ln|\sqrt{1+y^2}| + C_1$. આનો અર્થ એ થાય કે $x = c\sqrt{1+y^2}$. શરત $y(1)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા: $1 = c\sqrt{1+0^2} \implies c=1$. તેથી,$x = \sqrt{1+y^2}$,જેનો વર્ગ કરતા $x^2 = 1+y^2$ અથવા $x^2 - y^2 = 1$ મળે. આ એક લંબ અતિવલય (rectangular hyperbola) નું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2=1$ અને $b^2=1$. અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ છે.

$(1+y^2) dx - xy dy = 0$,$y(1)=0$ નો ઉકેલ એક શંકુ (conic) દર્શાવે છે. તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

Similar Questions

સમીકરણ $({e^y} + 1)\cos x \, dx + {e^y}\sin x \, dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x^2-x}$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x=2$ અને $y=1$ હોય.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \cot x \cot y$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ નો ઉકેલ હોય, જ્યાં $y(0)=1$, તો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module