बिंदु (0,1) से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x(1+y)$ प्राप्त होता है। चरों को अलग करन

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$y=-1+2 e^{\left(\frac{x^2}{2}\right)}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x(1+y)$ प्राप्त होता है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y} = x dx$ मिलता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y} = \int x dx$,जिससे $\ln(y+1) = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$y+1 = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ मिलता है। मान लीजिए $e^C = A$,अतः $y = A e^{\frac{x^2}{2}} - 1$। चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1 = A e^0 - 1 \Rightarrow 1 = A - 1 \Rightarrow A = 2$। अतः,वक्र का समीकरण $y = 2 e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ है।

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