$(0, 0, 0)$ અને $(4, 3, c)$ માંથી પસાર થતી અને $a \times b$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ શોધો, જ્યાં $a = 2i + j + 2k$ અને $b = 3i - 4j$ છે.

જો રેખાઓ $\vec{r}_{1}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R, \alpha>0$ અને $\vec{r}_{2}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}), \mu \in R$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $9$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.....$ છે.

સમાંતર રેખાઓ $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-1}{2}$ અને $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{5}=\frac{z+3}{2}$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

રેખાઓ $x+1=2y=-12z$ અને $x=y+2=6z-6$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

બિંદુ $\bar{i} + 2\bar{j} + 3\bar{k}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $2\bar{i} + 3\bar{j} + 4\bar{k}$ ને સમાંતર રેખા તથા બિંદુ $2\bar{i} + 4\bar{j} + 5\bar{k}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $3\bar{i} + 4\bar{j} + 5\bar{k}$ ને સમાંતર રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

બે રેખાઓ $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{2}$ અને $\frac{x-5}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{6}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\qquad$ છે.