वृत्तों $3x^2 + 3y^2 - 2x + 12y - 9 = 0$ और $x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है

मान लीजिए कि वृत्त $C_1: x^2+y^2-2(x+y)+1=0$ है और $C_2$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $(-1,0)$ और त्रिज्या $2$ है। यदि $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ जीवा की रेखा $y$-अक्ष को बिंदु $P$ पर काटती है,तो $P$ की $C_1$ के केंद्र से दूरी का वर्ग क्या है?

वह शर्त ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $y = mx + c$ और वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का युग्म एक-दूसरे पर लंब हो।

$P(4,4)$ से वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-2y-7=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं और $S=0$ के सापेक्ष $P$ की स्पर्श जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

$15$ और $20$ त्रिज्या वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए,जिनके केंद्र $25$ इकाई की दूरी पर स्थित हैं।

यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K = 0$ और $2(x^2 + y^2) + 2Kx + 3y - 1 = 0$,$(K \in R)$,बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो रेखा $4x + 5y - K = 0$ बिंदुओं $P$ और $Q$ से गुजरती है,इसके लिए