વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જેની ત્રિજ્યા $5$ છે અને જે વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ ને બિંદુ $(5, 5)$ આગળ બહારથી સ્પર્શે છે.

ધારો કે $ABCD$ એ સમાંતર બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં $AB$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ $S$ એ $CD$ ને સ્પર્શે છે. વધુમાં,વર્તુળ $S$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. તો સમલંબ ચતુષ્કોણનો સૌથી નાનો ખૂણો શોધો.

જો એક વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=16$ એ $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા વર્તુળ $C_2$ ને એવી રીતે છેદે છે કે સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોય અને તેનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ હોય,તો વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર શું છે?

વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો જેની $15 \ cm$ લંબાઈની ચાપ કેન્દ્ર આગળ $3/4$ રેડિયનનો ખૂણો બનાવે છે. તે ..... $cm$ છે.

ધારો કે $x_0, y_0$ એવા નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $x_0^2+y_0^2 > 1$ થાય. જો $x, y$ એવી કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $x^2+y^2 \leq 1$ થાય,તો $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $AB$ એ વર્તુળની જીવા છે અને $C$ એ $AB$ ને $3 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. $C$ માંથી પસાર થતી એક રેખા વર્તુળને $D$ અને $E$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $D$ અને $E$ નું રેખા $AB$ થી લઘુત્તમ અંતર અનુક્રમે $3$ અને $2$ છે. જો $r$ એ $AB$ ની લઘુત્તમ લંબાઈ હોય કે જેથી આ $r$ માટે $AB$ અને $DE$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ હોય,તો '$r\alpha$' નું મૂલ્ય શોધો.