$(3, 4)$ से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + (x - y) \frac{dy}{dx} - x = 0$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण क्या हो सकता है?

$(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ को हल कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदुओं $(1, 1)$ और $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने वाले एक वक्र पर किसी बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा धनात्मक $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि $PA: PB = 1: k$ है और $y = y(x)$ अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 2$,तो $4y(1) - 5 \log_e 3$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f:[0, \infty) \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in[0, \infty)$ के लिए $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(1,2)$ से गुजरता है
$(B)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(2,-1)$ से गुजरता है
$(C)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-2}{4}$ है
$(D)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-1}{4}$ है

एक वक्र $y = f(x)$ जो बिंदु $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ से गुजरता है,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ को संतुष्ट करता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?