अवकल समीकरण left( {1 + xsqrt {{x^2} + {y^2}} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y dy = 0$। पदों को पुनर्व्यवस्थ

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$x - \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = C$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y dy = 0$। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $dx - y dy + \sqrt{x^2 + y^2} (x dx + y dy) = 0$। हम जानते हैं कि $d(x^2 + y^2) = 2x dx + 2y dy$,इसलिए $x dx + y dy = \frac{1}{2} d(x^2 + y^2)$। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dx - y dy + \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2} d(x^2 + y^2) = 0$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dx - \int y dy + \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{1/2} d(x^2 + y^2) = C$। इससे हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + y^2)^{3/2}}{3/2} = C$। सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{3/2} = C$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

अवकल समीकरण $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ को हल कीजिए।

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