રેખા $r = i + j + \lambda (2i + j + 4k)$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $N$ એ બિંદુ $P(1, -2, 3)$ માંથી બિંદુઓ $(4, 5, 8)$ અને $(1, -7, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો સમતલ $2x - 2y + z + 5 = 0$ થી $N$ નું અંતર $.......$ છે.

સમતલો $x-y=0, 2x+y+z=0$ અને $2x-z=0, x+y-3z=0$ ના છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. ($^{\circ}$ માં)

સમતલ $\bar{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=17$ એ બિંદુઓ $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ ને જોડતી રેખાનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

$(3, -4, -5)$ અને $(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા,$(2, 2, 1)$,$(3, 0, 1)$ અને $(4, -1, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલને જે બિંદુએ છેદે છે તેના યામ શોધો.

$a, b \in \mathbb{Z}$ અને $|a - b| \leq 10$ માટે,સમતલ $P: ax + y - z = b$ અને રેખા $l: x - 1 = \frac{-y}{1} = z + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે. જો બિંદુ $(6, -6, 4)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $3\sqrt{6}$ હોય,તો $a^4 + b^2$ ની કિંમત શોધો.