समतलों 3x - y - 4z = 0 और x + 3y + 6 = 0 की प | vedclass

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Question

(A) समतलों $P_1: 3x - y - 4z = 0$ और $P_2: x + 3y + 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिय

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$x - 2y - 2z - 3 = 0$,$2x + y - 2z + 3 = 0$

Vedclass · Answer

(A) समतलों $P_1: 3x - y - 4z = 0$ और $P_2: x + 3y + 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(3x - y - 4z) + \lambda(x + 3y + 6) = 0$$(3 + \lambda)x + (3\lambda - 1)y - 4z + 6\lambda = 0$ ... $(i)$इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $1$ दी गई है। समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की मूल बिंदु से दूरी का सूत्र $\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।$\frac{|6\lambda|}{\sqrt{(3 + \lambda)^2 + (3\lambda - 1)^2 + (-4)^2}} = 1$$|6\lambda| = \sqrt{(9 + 6\lambda + \lambda^2) + (9\lambda^2 - 6\lambda + 1) + 16}$$|6\lambda| = \sqrt{10\lambda^2 + 26}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $36\lambda^2 = 10\lambda^2 + 26$$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$,तो समीकरण $(i)$ बनता है $(3+1)x + (3-1)y - 4z + 6 = 0 \implies 4x + 2y - 4z + 6 = 0 \implies 2x + y - 2z + 3 = 0$.स्थिति $2$: यदि $\lambda = -1$,तो समीकरण $(i)$ बनता है $(3-1)x + (-3-1)y - 4z - 6 = 0 \implies 2x - 4y - 4z - 6 = 0 \implies x - 2y - 2z - 3 = 0$.अतः,अभीष्ट समतल $x - 2y - 2z - 3 = 0$ और $2x + y - 2z + 3 = 0$ हैं।

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