बिंदुओं (1,0,0), (0,1,0) और (1,1,1) से गुजरने | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $A(1,0,0), B(0,1,0)$ और $C(1,1,1)$ हैं।बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$BC = \sqrt{

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$3(x^2+y^2+z^2)-4x-4y-2z+1=0$

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(A) माना बिंदु $A(1,0,0), B(0,1,0)$ और $C(1,1,1)$ हैं।बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।इन बिंदुओं से गुजरने वाले सबसे छोटी त्रिज्या वाले गोले का केंद्र त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक पर स्थित होता है।केंद्र $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.त्रिज्या $R$ केंद्र $C'$ से किसी भी बिंदु,जैसे $A(1,0,0)$ तक की दूरी है:$R^2 = \left(\frac{2}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{2}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.गोले का समीकरण $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ है।इसका विस्तार करने पर: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + \frac{9}{9} = \frac{6}{9}$.$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.$3$ से गुणा करने पर: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

बिंदुओं $(1,0,0), (0,1,0)$ और $(1,1,1)$ से गुजरने वाले और सबसे छोटी त्रिज्या वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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