अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 12$ की स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y = 4x + c_1$ और $y = 4x + c_2$ हैं,तो $|c_1 - c_2|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और $H_2:-\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ दो अतिपरवलय हैं जिनकी नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $15 \sqrt{2}$ और $12 \sqrt{5}$ है। मान लीजिए उनकी उत्केंद्रताएँ क्रमशः $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ और $e_2$ हैं। यदि उनके अनुप्रस्थ अक्षों की लंबाई का गुणनफल $100 \sqrt{10}$ है,तो $25 e_2^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $P$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 4$ पर एक बिंदु है,जो $(0, -1)$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $x$-अक्ष से $P$ की दूरी क्या है?

यदि रेखा $y = mx + c$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा है,तो बिंदु $P(m, c)$ का बिंदुपथ क्या है?

यदि आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=1$ के बिंदु $P$ (जहाँ प्राचल $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$) पर अभिलंब वक्र को पुनः $Q$ (जहाँ प्राचल $\theta_2$) पर मिलता है,तो $\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल,अतिपरवलय के केंद्र और एक नाभि के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है,तो $e^3$ का मान ज्ञात कीजिए ($e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता है)।