समीकरणों $x-y+2z=4$,$3x+y+4z=6$ और $x+y+z=1$ के

मान लीजिए $a, b, c \notin \{0, 1\}$ है। यदि समीकरण निकाय $\Pi_1 \equiv x+ay+az=0, \Pi_2 \equiv bx+y+bz=0, \Pi_3 \equiv cx+cy+z=0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो समीकरण निकाय $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ के

$a$ का वह धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समघात समीकरण निकाय $x+ay+z=0$, $ax+2y-z=0$, और $2x+3y+z=0$ के अशून्य हल हों।

$x, y, z$ में रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करें: $x+2y+tz=0, 6x+y+5tz=0, 3x+t^2y+z=0$. यदि इस निकाय के सभी $t \in R$ के लिए अनंत हल हैं, तो गुणांक आव्यूह का सारणिक सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए। मान लीजिए $D(t)$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है। यदि सभी $t$ के लिए $D(t) = 0$ है, तो स्थिति का विश्लेषण करें।

यदि समीकरण निकाय $x + 2y + 3z = 4$,$x + py + 2z = 3$,और $x + 4y + \mu z = 3$ के अनंत हल हैं,तो:

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए समीकरण निकाय $2x-y-2z=2$, $x-2y+z=-4$, और $x+y+\lambda z=4$ का कोई हल नहीं है, है: