दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण क्या हैं जो मुख्य अक्ष के साथ $30^\circ$ का झुकाव बनाती हैं?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,जिसके शीर्ष $A$ और $A'$ हैं,प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Q$ पर मिलती है और जीवा $A'P$,$y$-अक्ष को $M$ पर मिलती है। यदि $O$ मूलबिंदु है,तो $OQ^2 - MQ^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $9x^2+4y^2=36$ पर स्थित बिंदु $\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ की नाभीय दूरियों का योग क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की एक चर स्पर्श रेखा दोनों अक्षों पर अंतःखंड बनाती है। निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्श रेखा के भाग के मध्य बिंदु का बिंदुपथ है

यदि $F_1$ और $F_2$ दीर्घवृत्त $16 x^2+25 y^2=400$ की नाभियाँ हैं और $P$ उस पर कोई बिंदु है,तो गुणनफल $P F_1 \cdot P F_2$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ और $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ दो प्रतिच्छेदी दीर्घवृत्त हैं। यदि $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$