(1+x+x^2)^{-3/2} का x की घातों में विस्तार तब | vedclass

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Question

(C) द्विपद विस्तार $(1+u)^n$ के लिए $n 
otin N$ तब मान्य है यदि $|u| < 1$ हो। यहाँ,$u = x+x^2$ है। अतः,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ का विस्तार तब मान्य है यदि

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$\left|x+\frac{1}{2}\right| < \frac{\sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(C) द्विपद विस्तार $(1+u)^n$ के लिए $n otin N$ तब मान्य है यदि $|u| यहाँ,$u = x+x^2$ है। अतः,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ का विस्तार तब मान्य है यदि $|x^2+x| इसका अर्थ है $-1 $x^2+x $x^2+x-1 $x^2+x-1 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। अतः,$x^2+x-1 साथ ही,$x^2+x > -1$ हमेशा सत्य है क्योंकि $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$। इन दोनों को मिलाने पर,हमें $|x^2+x| < 1$ प्राप्त होता है,जो $\left|x+\frac{1}{2} ight| < \frac{\sqrt{5}}{2}$ के समतुल्य है।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $(1-x)^{-n}$	$(i)$ $\frac{x}{x+1}$
$(B)$ $(1+x)^{-n}$	$(ii)$ $1-nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2-\dots$ यदि $\|x\| < 1$
$(C)$ यदि $x>1$ है,तो $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$ है	$(iii)$ $1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\dots$ यदि $\|x\| < 1$
$(D)$ यदि $\|x\|>1$ है,तो $1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$ है	$(iv)$ $\frac{x}{x-1}$
	$(v)$ $\frac{x^4}{(x^2+1)^2}$
	$(vi)$ $\frac{x^4}{(x^2-1)^2}$

$(1+x+x^2)^{-3/2}$ का $x$ की घातों में विस्तार तब मान्य है यदि

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