व्यंजक frac{2^2+1}{2^2-1}+frac{3^2+1}{3^2-1}+ | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.हम सामान्य पद $T_r$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r

Vedclass · Accepted Answer

$\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.हम सामान्य पद $T_r$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.$r=2$ से $2011$ तक योग करने पर:$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.पहला भाग $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ है।दूसरा भाग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.कटौती के बाद,हमें प्राप्त होता है:$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.अतः,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.चूंकि $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,इसलिए $S$ का मान $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

व्यंजक $\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{3^2+1}{3^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\ldots+\frac{(2011)^2+1}{(2011)^2-1}$ किस अंतराल में स्थित है?

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$\sum_{k=1}^{13} \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{(k-1) \pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{6}\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{(20-a)(40-a)}+\frac{1}{(40-a)(60-a)}+\ldots+\frac{1}{(180-a)(200-a)}=\frac{1}{256}$ है,तो $a$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{n = 1}^5 {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{k}{3}} $ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1000 \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{999 \times 1000} \right]$ का मान है

कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

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