1000 left[ frac{1}{1 times 2} + frac{1}{2 tim | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $1000 \left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{1}{n(n+1)} \right]$ है।आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $\frac{1}{n(n

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$999$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $1000 \left[ \sum_{n=1}^{999} \frac{1}{n(n+1)} \right]$ है।आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $1000 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}) \right]$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं, जिससे $1000 \left[ 1 - \frac{1}{1000} \right]$ शेष रहता है।$= 1000 \left[ \frac{999}{1000} \right] = 999$।

$1000 \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{999 \times 1000} \right]$ का मान है

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कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

यदि $\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\frac{1}{9 \cdot 13}+\ldots$ के $n$ पदों का योग $= \frac{27}{109}$ है,तो $n = $

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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