व्यंजक (1 + tan x + tan^2 x)(1 - cot x + cot^ | vedclass

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Question

(C) माना व्यंजक $E = (1 + 	an x + 	an^2 x)(1 - \cot x + \cot^2 x)$ है।$\cot x = \frac{1}{	an x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = (1 + 	an x + 	an^2 x)(

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सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए

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(C) माना व्यंजक $E = (1 + 	an x + 	an^2 x)(1 - \cot x + \cot^2 x)$ है।$\cot x = \frac{1}{	an x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = (1 + 	an x + 	an^2 x)(1 - \frac{1}{	an x} + \frac{1}{	an^2 x})$.$E = (1 + 	an x + 	an^2 x) \left( \frac{	an^2 x - 	an x + 1}{	an^2 x} ight)$.$E = \frac{(1 + 	an^2 x + 	an x)(1 + 	an^2 x - 	an x)}{	an^2 x}$.सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1 + 	an^2 x$ और $b = 	an x$:$E = \frac{(1 + 	an^2 x)^2 - 	an^2 x}{	an^2 x}$.$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $1 + 	an^2 x \ge 2|	an x|$ है,इसलिए $(1 + 	an^2 x)^2 > 	an^2 x$ होगा।अतः,यह व्यंजक सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए धनात्मक है जहाँ $	an x$ परिभाषित है।

व्यंजक $(1 + \tan x + \tan^2 x)(1 - \cot x + \cot^2 x)$ का मान $x$ के किन मानों के लिए धनात्मक है?

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