व्यंजक 2^{4n} - 15n - 1, जहाँ n in N (प्राकृत | vedclass

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Question

(B) हमारे पास व्यंजक $2^{4n} - 15n - 1$ है। चूंकि $2^4 = 16$, हम $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ लिख सकते हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, $(1 + 1

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$225$

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(B) हमारे पास व्यंजक $2^{4n} - 15n - 1$ है। चूंकि $2^4 = 16$, हम $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ लिख सकते हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, $(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$। इस मान को व्यंजक में रखने पर: $2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$। पदों को सरल करने पर, $1$ और $15n$ कट जाएंगे: $2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$। $15^2 = 225$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$। अतः, यह व्यंजक $n \ge 2$ के लिए $225$ से विभाज्य है। $n=1$ के लिए, व्यंजक $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ है, जो $225$ से विभाज्य है।

व्यंजक $2^{4n} - 15n - 1$, जहाँ $n \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय), किससे विभाज्य है?

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