પદાવલિ 2^{4n} - 15n - 1, જ્યાં n in N (પ્રાકૃ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$ છે. $2^4 = 16$ હોવાથી, આપણે $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ લખી શકીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $(1 + 15)^n

Vedclass · Accepted Answer

$225$

Vedclass · Answer

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$ છે. $2^4 = 16$ હોવાથી, આપણે $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ લખી શકીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$. આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$. પદોનું સાદું રૂપ આપતા, $1$ અને $15n$ ઉડી જશે: $2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$. $15^2 = 225$ સામાન્ય કાઢતા: $2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$. આમ, આ પદાવલિ $n \ge 2$ માટે $225$ વડે વિભાજ્ય છે. $n=1$ માટે, પદાવલિ $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ થાય છે, જે $225$ વડે વિભાજ્ય છે.

પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$, જ્યાં $n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ), તે કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

$x^n + y^n$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ધારો કે સંખ્યા $(22)^{2022} + (2022)^{22}$ ને $3$ વડે ભાગતા શેષ $\alpha$ અને $7$ વડે ભાગતા શેષ $\beta$ મળે છે. તો $(\alpha^2 + \beta^2)$ ની કિંમત શોધો.

જ્યારે $(15^{23} + 23^{23})$ ને $19$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

ધારો કે $n > 1$ એક પૂર્ણાંક છે. નીચેનામાંથી કયા સંખ્યાઓના સમૂહમાં હંમેશા $3$ નો ગુણક હોય છે?

દર્શાવો કે જ્યારે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module