फलन f(x) = cos^{-1}left(sin sqrt{frac{1+x}{2} | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ है। सबसे पहले,पद $g(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)$ को स

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$\frac{3}{4}$

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(D) माना $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}ight) + x^x$ है। सबसे पहले,पद $g(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}ight)$ को सरल करें। $\sin(	heta) = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ का उपयोग करते हुए,हमें $g(x) = \cos^{-1}\left(\cos(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}})ight) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}$ प्राप्त होता है। $g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1+x}{2}}}$. $x=1$ पर,$g'(1) = -\frac{1}{4\sqrt{1}} = -\frac{1}{4}$. अब,माना $h(x) = x^x$ है। तब $\ln(h(x)) = x \ln(x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{h'(x)}{h(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$। अतः,$h'(x) = x^x(\ln(x) + 1)$। $x=1$ पर,$h'(1) = 1^1(\ln(1) + 1) = 1(0 + 1) = 1$। $x=1$ पर $f(x)$ का अवकलज $f'(1) = g'(1) + h'(1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ है।

फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ का $x$ के सापेक्ष $x=1$ पर प्रथम अवकलज क्या है?

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