બિંદુ $A(1, 0, 3)$ માંથી બિંદુઓ $B(4, 7, 1)$ અને $C(3, 5, 3)$ ને જોડતી રેખા પર દોરેલા લંબપાદના યામ શોધો.

જો $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+t(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ અને $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+s(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$ એ બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના સદિશ સમીકરણો હોય, તો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ અને $\frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $k$ ની કિંમત શું થશે?

ધારો કે $Q$ એ ઘન છે જેના શિરોબિંદુઓનો ગણ $\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in \{0,1\}\}$ છે. ધારો કે $F$ એ ઘન $Q$ ની છ બાજુઓના વિકર્ણો ધરાવતી તમામ બાર રેખાઓનો ગણ છે. ધારો કે $S$ એ ઘન $Q$ ના મુખ્ય વિકર્ણો ધરાવતી તમામ ચાર રેખાઓનો ગણ છે; ઉદાહરણ તરીકે,$(0,0,0)$ અને $(1,1,1)$ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $S$ માં છે. રેખાઓ $\ell_1$ અને $\ell_2$ માટે,ધારો કે $d(\ell_1, \ell_2)$ તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે. તો જ્યારે $\ell_1$ એ $F$ પર અને $\ell_2$ એ $S$ પર બદલાય ત્યારે $d(\ell_1, \ell_2)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું હશે?

રેખાઓની જોડી $\vec{r} = -3\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$ અને $\vec{r} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ વચ્ચેનો ખૂણો . . . . . . છે.

રેખાઓ $\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ અને $\vec{r}=(2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+2\hat{j})$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર (એકમમાં) કેટલું છે?