વિધેય y=f(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}}$.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^4+2x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + c = \int (x^4+2x) dx + c = \frac{x^5}{5} + x^2 + c$ છે.$f(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 \cdot 1 = 0 + 0 + c$,તેથી $c=0$.આમ,$f(x) = \frac{x^5/5 + x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.આપણે $I = \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. $f(x) = \frac{x^5/5}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ હોવાથી,પ્રથમ પદ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી સંમિત અંતરાલ પર તેનું સંકલન $0$ થશે.તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$.ધારો કે $x = \sin 	heta$,તો $dx = \cos 	heta d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=\frac{\sqrt{3}}{2}, 	heta=\frac{\pi}{3}$.$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 	heta}{\cos 	heta} \cos 	heta d	heta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 	heta d	heta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2	heta) d	heta$.$I = [	heta - \frac{1}{2} \sin 2	heta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-y^2} dx + x dy - \sin^{-1} y dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=-2$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો.

$y' - y = 1, y(0) = -1$ નો ઉકેલ $y(x) = $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module