frac{d y}{d x}+frac{1}{x}=frac{e^y}{x^2} નો ઉ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y}

Vedclass · Accepted Answer

$2 x=\left(1+C x^2\right) e^y$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.ધારો કે $e^{-y} = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,અથવા $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$.આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ થાય છે.આ $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$.ઉકેલ $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ દ્વારા મળે છે.$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.$2x^2$ વડે ગુણતા,$2 x v = 1 + 2 C x^2$. ધારો કે $2C = C'$,તો $2 x v = 1 + C' x^2$.$v = e^{-y}$ મૂકતા,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$.$e^y$ વડે ગુણતા,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ મળે છે.

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

જો $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$ અને $x(1) = 1$ હોય,તો $5x(2)$ ની કિંમત શોધો:

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x, (x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(2)=2$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module