x 0 માટે વિધેય f(x) = x^x કયા અંતરાલમાં ચુસ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે. $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \

Vedclass · Accepted Answer

$x > \frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે. $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ મળે. આમ,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$. વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે. $x > 0$ હોવાથી,$x^x$ હંમેશા ધન છે. તેથી,$1 + \ln x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\ln x > -1$. આ $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ ને સમાન છે. તેથી,$x > \frac{1}{e}$.

$x > 0$ માટે વિધેય $f(x) = x^x$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે?

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x$,$0 \leq x \leq 2 \pi$ માટે કયા અંતરાલોમાં વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે શોધો.

$f(x) = \sin 3x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય માટે નીચેના અંતરાલો શોધો:
$(a)$ વધતું વિધેય
$(b)$ ઘટતું વિધેય.

$x \geq -2$ માટે $f(x) = \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt$ આપેલ છે,જ્યાં $g$ એ વધતું વિધેય છે,તો:

જો $f(x) = \sin x - \cos x$ હોય,તો $0 \le x \le 2\pi$ અંતરાલમાં વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે?

$K$ ના કયા મૂલ્યો માટે વિધેય $f(x) = x^3 + 6x^2 + (9 + 2K)x + 1$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module