फलन f(x) = x e^{-x}, forall x in R का अधिकतम | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए, हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए, हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.चरम मान के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:$e^{-x}(1 - x) = 0$.चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} 
eq 0$ होता है, इसलिए $1 - x = 0$, जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।अब, चरम मान की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x - 2)$.$x = 1$ पर मान रखने पर:$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए फलन $x = 1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

फलन $f(x) = x e^{-x}, \forall x \in R$ का अधिकतम मान $x$ के किस मान पर प्राप्त होता है?

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