फलन f(x) = x^{2} + bx + c, जहाँ b और c वास्तव | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + bx + c$ है। यह एक द्विघात फलन है जो एक परवलय को दर्शाता है। फलन के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1

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न तो एकैकी और न ही आच्छादक फलन

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + bx + c$ है। यह एक द्विघात फलन है जो एक परवलय को दर्शाता है। फलन के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। यहाँ, $f(x) = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$ है। चूँकि वर्ग पद हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ अनिवार्य रूप से $x_1 = x_2$ नहीं है (उदाहरण के लिए, $f(x) = x^2$ में $f(1) = f(-1) = 1$), इसलिए यह बहु-एक (many-to-one) फलन है। इसके अलावा, इस फलन का परिसर $[c - \frac{b^2}{4}, \infty)$ है, जो सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है (यदि सह-प्रांत $\mathbb{R}$ है), इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः, यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

फलन $f(x) = x^{2} + bx + c$, जहाँ $b$ और $c$ वास्तविक स्थिरांक हैं, क्या दर्शाता है?

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मान लीजिए कि $f: R \to R$ को $f(x) = x^3$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो $f$ . . . . . . है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ से स्वयं पर एकैकी (one-one) फलनों की संख्या . . . . . . है।

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। $A$ से $A$ तक के उन फलनों $f$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए जब भी $m + n = 7$ हो,तब $f(m) + f(n) = 7$ हो।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x > 3 \\ x^2, & 1 < x \leq 3 \\ 3x, & x \leq 1 \end{array}\right.$. तो $f(-2) + f(3) + f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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