फलन f(x) = begin{cases} x, & text{यदि } 0 le | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \ 1, & 1 < x \le 2 \end{cases}$$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:बायाँ सीमा: $\lim_{x 	o 1^-}

Vedclass · Accepted Answer

सभी $x$,$0 \le x \le 2$ पर सतत है और अंतराल $(0, 2)$ में $1$ को छोड़कर सभी $x$ पर अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \ 1, & 1 $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:बायाँ सीमा: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(1 - h) = \lim_{h 	o 0} (1 - h) = 1$दायाँ सीमा: $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(1 + h) = 1$चूंकि $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) = f(1) = 1$,इसलिए फलन $x = 1$ पर सतत है।$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:बायाँ अवकलज: $LHD = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(1 - h) - 1}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{-h}{-h} = 1$दायाँ अवकलज: $RHD = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{1 - 1}{h} = 0$चूंकि $LHD 
eq RHD$,इसलिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,फलन सभी $x \in [0, 2]$ के लिए सतत है और $x = 1$ को छोड़कर सभी $x \in [0, 2]$ के लिए अवकलनीय है।

फलन $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{यदि } 1 < x \le 2 \end{cases}$ है

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यदि फलन $f(x) = \left( \frac{5x - 8}{8 - 3x} \right)^{\frac{3}{2x-4}}$, जहाँ $x \neq 2$, $x = 2$ पर संतत है, तो $f(2)$ का मान है...

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^{n}$ बिंदु $x = n$ पर संतत है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

फलन $f$ की सांतत्यता (continuity) पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$

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