फलन g(x) = begin{cases} x + b, & x

Question

(D) $g(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} g(x) = \lim_{x 	o 0^+} g(x) = g(0)

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$b$ के किसी भी मान के लिए नहीं

Vedclass · Answer

(D) $g(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} g(x) = \lim_{x 	o 0^+} g(x) = g(0)$। $\lim_{x 	o 0^-} (x + b) = b$ और $\lim_{x 	o 0^+} \cos x = \cos(0) = 1$। अतः,$b = 1$। अब,$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ की जाँच करें: $RHD = g'(0^+) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{\cos(0 + h) - \cos(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$। $LHD = g'(0^-) = \lim_{h 	o 0^-} \frac{(0 + h + b) - (0 + b)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{h}{h} = 1$। चूँकि $LHD 
eq RHD$ $(1 
eq 0)$,इसलिए $b$ के किसी भी मान के लिए फलन $g(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं बनाया जा सकता है।

फलन $g(x) = \begin{cases} x + b, & x < 0 \\ \cos x, & x \geqslant 0 \end{cases}$ को $x = 0$ पर अवकलनीय बनाया जा सकता है।

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