फलन $S(x) = \int\limits_0^x {\sin \left( {\frac{{\pi {t^2}}}{2}} \right)\,dt} $ के अंतराल $[1, 2.4]$ में दो क्रांतिक बिंदु हैं। एक क्रांतिक बिंदु स्थानीय न्यूनतम है और दूसरा स्थानीय अधिकतम है। स्थानीय न्यूनतम $x =$ पर होता है।

$2x$,$4x$ और $5x$ भुजाओं वाले एक घनाभ और $r$ त्रिज्या वाले एक बंद अर्धगोले पर विचार करें। यदि उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग एक स्थिरांक $k$ है,तो वह अनुपात $x:r$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए उनके आयतनों का योग अधिकतम है।

यदि $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ के $x = -1$ और $x = 1$ पर चरम मान (extreme values) हैं,तो $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः क्या हैं?

यदि दो संख्याओं का योग $3$ है,तो पहली संख्या और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का अधिकतम मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $A$ परवलय $y^2=2x$ और रेखा $x=24$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है। तो क्षेत्र $A$ में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल .................. है।

मान लीजिए $a \in R$ और $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^5-5x+a$ द्वारा दिया गया है। तो
$(A)$ यदि $a > 4$ है तो $f(x)$ के तीन वास्तविक मूल हैं
$(B)$ यदि $a > 4$ है तो $f(x)$ का केवल एक वास्तविक मूल है
$(C)$ यदि $a < -4$ है तो $f(x)$ के तीन वास्तविक मूल हैं
$(D)$ यदि $-4 < a < 4$ है तो $f(x)$ के तीन वास्तविक मूल हैं