अधिकतम करने के लिए फलन $Z=2x+y$ द्वारा दिया गया है। इस फलन $Z$ के लिए सुसंगत क्षेत्र चित्र में दर्शाया गया छायांकित क्षेत्र है। $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . है और यह . . . . . . बिंदु पर प्राप्त होता है।

निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करता है। इस क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाएं हैं:

एक कंपनी फैक्ट्री $I$ और फैक्ट्री $II$ में कैलकुलेटर के $3$ मॉडल बनाती है: $A, B$ और $C.$ कंपनी के पास मॉडल $A$ के कम से कम $6400,$ मॉडल $B$ के $4000$ और मॉडल $C$ के $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं। फैक्ट्री $I$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $50,$ मॉडल $B$ के $50$ और मॉडल $C$ के $30$ कैलकुलेटर बनते हैं; फैक्ट्री $II$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $40,$ मॉडल $B$ के $20$ और मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर बनते हैं। फैक्ट्री $I$ और $II$ को चलाने में प्रतिदिन क्रमशः $Rs. 12000$ और $Rs. 15000$ का खर्च आता है। परिचालन लागत को कम करने और मांग को पूरा करने के लिए प्रत्येक फैक्ट्री को कितने दिन चलना चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने $A$ और $B$ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए तीन मशीनों की आवश्यकता होती है और प्रत्येक खिलौने के लिए मशीनों पर आवश्यक समय (मिनटों में) नीचे दिया गया है:

खिलौनों के प्रकार	मशीन-$I$	मशीन-$II$	मशीन-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम $6 \, \text{घंटे}$ $(360 \, \text{मिनट})$ के लिए उपलब्ध है। यदि प्रकार $A$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 7.50$ है और प्रकार $B$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 5$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने खिलौने बनाए जाने चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

एक थोक व्यापारी $Rs \ 24000$ के साथ अनाज का व्यवसाय शुरू करना चाहता है। गेहूं की कीमत $Rs \ 400$ प्रति क्विंटल और चावल की कीमत $Rs \ 600$ प्रति क्विंटल है। उसके पास $200$ क्विंटल अनाज भंडारण करने की क्षमता है। वह गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल और चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है। यदि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है,तो अधिकतम लाभ के लिए उद्देश्य फलन (objective function) क्या है?

यदि सुसंगत क्षेत्र चित्र में दिखाए अनुसार है,तो संबंधित असमिकाएं क्या हैं?