एक कंपनी फैक्ट्री $I$ और फैक्ट्री $II$ में कैलकुलेटर के $3$ मॉडल बनाती है: $A, B$ और $C.$ कंपनी के पास मॉडल $A$ के कम से कम $6400,$ मॉडल $B$ के $4000$ और मॉडल $C$ के $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं। फैक्ट्री $I$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $50,$ मॉडल $B$ के $50$ और मॉडल $C$ के $30$ कैलकुलेटर बनते हैं; फैक्ट्री $II$ में प्रतिदिन मॉडल $A$ के $40,$ मॉडल $B$ के $20$ और मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर बनते हैं। फैक्ट्री $I$ और $II$ को चलाने में प्रतिदिन क्रमशः $Rs. 12000$ और $Rs. 15000$ का खर्च आता है। परिचालन लागत को कम करने और मांग को पूरा करने के लिए प्रत्येक फैक्ट्री को कितने दिन चलना चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।
(B) मान लीजिए फैक्ट्री $I, x$ दिन और फैक्ट्री $II, y$ दिन चलती है।
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $A$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $A$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $A$ के लिए कम से कम $6400$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 40y \geq 6400 \Rightarrow 5x + 4y \geq 640$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $B$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $B$ के $20$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $B$ के लिए कम से कम $4000$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 20y \geq 4000 \Rightarrow 5x + 2y \geq 400$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $C$ के $30$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $C$ के लिए कम से कम $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 30x + 40y \geq 4800 \Rightarrow 3x + 4y \geq 480$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0.$
हमें लागत $Z = 12000x + 15000y$ को कम करना है,जो निम्नलिखित बाधाओं के अधीन है:
$5x + 4y \geq 640$
$5x + 2y \geq 400$
$3x + 4y \geq 480$
$x, y \geq 0$
संभाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(160, 0), B(80, 60), C(32, 120),$ और $D(0, 200)$ हैं।
न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम $12000x + 15000y < 1860000$ या $4x + 5y < 620$ का आलेख खींचते हैं। चित्र में दिखाए अनुसार,संभाव्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है,इसलिए न्यूनतम मान $1860000$ है।
अतः,फैक्ट्री $I$ को $80$ दिन और फैक्ट्री $II$ को $60$ दिन चलना चाहिए।
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $A$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $A$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $A$ के लिए कम से कम $6400$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 40y \geq 6400 \Rightarrow 5x + 4y \geq 640$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $B$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $B$ के $20$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $B$ के लिए कम से कम $4000$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 20y \geq 4000 \Rightarrow 5x + 2y \geq 400$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $C$ के $30$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $C$ के लिए कम से कम $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 30x + 40y \geq 4800 \Rightarrow 3x + 4y \geq 480$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0.$
हमें लागत $Z = 12000x + 15000y$ को कम करना है,जो निम्नलिखित बाधाओं के अधीन है:
$5x + 4y \geq 640$
$5x + 2y \geq 400$
$3x + 4y \geq 480$
$x, y \geq 0$
संभाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(160, 0), B(80, 60), C(32, 120),$ और $D(0, 200)$ हैं।
| कोणीय बिंदु | $Z = 12000x + 15000y$ का मान |
| $(160, 0)$ | $1920000$ |
| $(80, 60)$ | $1860000$ (न्यूनतम) |
| $(32, 120)$ | $2184000$ |
| $(0, 200)$ | $3000000$ |
न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम $12000x + 15000y < 1860000$ या $4x + 5y < 620$ का आलेख खींचते हैं। चित्र में दिखाए अनुसार,संभाव्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है,इसलिए न्यूनतम मान $1860000$ है।
अतः,फैक्ट्री $I$ को $80$ दिन और फैक्ट्री $II$ को $60$ दिन चलना चाहिए।
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| ब्रांड $P$ ($kg$ प्रति बैग) | ब्रांड $Q$ ($kg$ प्रति बैग) | |
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