left(x frac{dy}{dx} - yright) sin frac{y}{x} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$ दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\left(\frac{x \frac{dy}{

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$e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

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(A) दिया गया समीकरण: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$ दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\left(\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}\right) \sin \frac{y}{x} = x e^x$ माना $t = \frac{y}{x}$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} \sin t = x e^x$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \sin t \, dt = \int x e^x \, dx$ दाहिनी ओर के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $-\cos t = x e^x - \int e^x \, dx$ $-\cos t = x e^x - e^x + c$ $-\cos t = e^x(x - 1) + c$ $t = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $-\cos \frac{y}{x} = e^x(x - 1) + c$ पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$ का व्यापक हल है

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\cos \left(\frac{dy}{dx}\right) = a$ $(a \in R)$; जब $x = 0$ हो तो $y = 1$.

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