अवकल समीकरण left(frac{y}{x}right) cos left(fr | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\f

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$y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$. मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$. अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$. चरों को अलग करने पर: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$. $\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$. $\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$. चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,जो सरल होकर $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx - \left[\left(\frac{x}{y}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy = 0$ का व्यापक हल है:

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