यदि एक वक्र y=f(x), जो बिंदु (1,2) से होकर गु | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{1+\log _{e} 2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$चरों को अलग करने पर:$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$$-2v^{-1} = \ln|x| + C$$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$चूंकि $v = \frac{y}{x}$,हमारे पास $-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$ है।वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1, y=2$ रखने पर:$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.अतः,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.अब,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करने पर:$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$ का हल ज्ञात कीजिए जो प्रतिबंध $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] d x+x d y=0$; $y=\frac{\pi}{4}$ जब $x=1$.

नीचे दिए गए अवकल समीकरण को हल करें:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$ एक समघातीय अवकल समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module