જો એક વક્ર y=f(x), જે બિંદુ (1,2) માંથી પસાર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{1+\log _{e} 2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy = (2 xy + y^{2}) dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^{2}}{2x^{2}}$આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx) + (vx)^{2}}{2x^{2}} = \frac{2x^{2}v + x^{2}v^{2}}{2x^{2}} = v + \frac{v^{2}}{2}$$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}}{2}$ચલનું અલગીકરણ કરતા:$\frac{2}{v^{2}} dv = \frac{1}{x} dx$બંને બાજુ સંકલન કરતા:$\int 2v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$$-2v^{-1} = \ln|x| + C$$-\frac{2}{v} = \ln|x| + C$$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| + C$.વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=2$ મૂકતા:$-\frac{2(1)}{2} = \ln(1) + C \Rightarrow -1 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.આમ,$-\frac{2x}{y} = \ln|x| - 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2x}{y} = 1 - \ln x$.$y = \frac{2x}{1 - \ln x} \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{1 - \ln x}$.હવે,$f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 - \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 - (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{1 - (0 - \ln 2)} = \frac{1}{1 + \ln 2}$.

જો એક વક્ર $y=f(x),$ જે બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તે વિકલ સમીકરણ $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ નો ઉકેલ હોય,તો $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો જે $y(x) = e$ નું સમાધાન કરે છે.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module