વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{y^3}{2(xy^2 - | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ મળે છે. આ $z$ અને $x$ ના સંદર્ભમાં એક સુરેખ (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ ને ઉકેલવા માટે,$z = vx$ લો,તો $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.આ $y^2 e^{-y^2/x} = C$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ સ્વરૂપના સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને કઈ આદેશ (substitution) દ્વારા ઉકેલી શકાય છે?

$(2, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા વક્ર માટે $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2 + y^2}{2xy}$ હોય,તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(2x - y + 1)dx + (2y - x + 1)dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module