अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y^3}{2(xy^2 - | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ है।माना $z = y^2$. तब $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1

Vedclass · Accepted Answer

कथन $-1$ सही है और कथन $-2$ गलत है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ है।माना $z = y^2$. तब $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ को समीकरण में रखने पर:$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ प्राप्त होता है। यह $z$ और $x$ के पदों में एक समघातीय अवकल समीकरण है। अतः,कथन $-1$ सही है।$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ को हल करने के लिए,$z = vx$ रखें,तो $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.यह $y^2 e^{-y^2/x} = C$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $-2$ गलत है।

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