नीचे दिए गए अवकल समीकरण को हल करें:frac{x dy} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण:$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण

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$x^2 = c[y + \sqrt{y^2 + x^2}]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण:$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$चरों को अलग करने पर:$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|x| + \ln|c|$$\ln|v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln|cx|$$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$या $x^2 = C[y + \sqrt{x^2 + y^2}]$.अतः,विकल्प $A$ सही है।

नीचे दिए गए अवकल समीकरण को हल करें:
$\frac{x dy}{dx} = y + \sqrt{x^2 + y^2}$

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