अवकल समीकरण x y(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0 का व | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xy(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{x} + \frac{y(y+2)}{y^3-1} dy = 0$ प्राप्त होता है

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$\log |x| + \frac{1}{3} \log |y^3-1| + \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} ight) = c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xy(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{x} + \frac{y(y+2)}{y^3-1} dy = 0$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{y^2+2y}{y^3-1} dy = c$। $\frac{y^2+2y}{(y-1)(y^2+y+1)}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{A}{y-1} + \frac{By+C}{y^2+y+1}$ प्राप्त होता है। अचरों को हल करने पर,$A = 1$,$B = 0$,$C = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{1}{y-1} dy + \int \frac{1}{y^2+y+1} dy = c$। $\log |x| + \log |y-1| + \int \frac{1}{(y+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dy = c$। $\log |x(y-1)| + \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} ight) = c$। चूंकि $y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$,इसलिए हल $\log |x| + \frac{1}{3} \log |y^3-1| + \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} ight) = c$ है।

अवकल समीकरण $x y(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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