વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{2x+y-3}{2y-x+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ છે.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.આપણે $2h+k-3=0$

Vedclass · Accepted Answer

$x^2 - xy - y^2 + 3x + 3y + c = 0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ છે.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.આપણે $2h+k-3=0$ અને $-h+2k+3=0$ સમીકરણો ઉકેલીએ.બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $-2h+4k+6=0$. પ્રથમ સમીકરણ સાથે સરવાળો કરતા: $5k+3=0 \implies k = -3/5$. તેથી $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$.સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ બને છે.ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$.ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$.ધારો કે $u = -2v^2+2v+2$,તેથી $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$.તેથી,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$.$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$.$X=x-9/5$ અને $Y=y+3/5$ મૂકતા,સાદું રૂપ આપતા $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

દર્શાવો કે વક્રોનું કુળ જેના માટે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ છે,તે $x^{2}-y^{2}=c x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુઓ $(2,1)$ અને $(k+1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $k > 0$,તો:

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module