જો વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{x+y-2}{x-y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ છે.ધારો કે $X = x-1$ અને $Y = y-1$,તો $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$.અંશ અને

Vedclass · Accepted Answer

$2 	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \log_{e}(k^{2}+1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}$ છે.ધારો કે $X = x-1$ અને $Y = y-1$,તો $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$.અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1 + (Y/X)}{1 - (Y/X)}$.ધારો કે $Y = VX$,તો $\frac{dY}{dX} = V + X\frac{dV}{dX}$.આ કિંમત મૂકતા,$V + X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V}$,તેથી $X\frac{dV}{dX} = \frac{1+V}{1-V} - V = \frac{1+V-V+V^{2}}{1-V} = \frac{1+V^{2}}{1-V}$.ચલ અલગ કરતા,$\int \frac{1-V}{1+V^{2}} dV = \int \frac{dX}{X}$.$\int \frac{1}{1+V^{2}} dV - \frac{1}{2} \int \frac{2V}{1+V^{2}} dV = \ln|X| + C$.$	an^{-1}(V) - \frac{1}{2} \ln(1+V^{2}) = \ln|X| + C$.$V = Y/X = \frac{y-1}{x-1}$ મૂકતા,$	an^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{(y-1)^{2}}{(x-1)^{2}}ight) = \ln|x-1| + C$.તે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $X=1, Y=0$: $	an^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1) = \ln(1) + C \implies C = 0$.બિંદુ $(k+1, 2)$ માટે,$X=k, Y=1$: $	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}ight) = \ln(k)$.$	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}ight) = \ln(k)$.$	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \ln(k) + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{k^{2}+1}{k^{2}}ight) = \ln(k) + \ln\left(\sqrt{\frac{k^{2}+1}{k^{2}}}ight) = \ln\left(k \cdot \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k}ight) = \ln\sqrt{k^{2}+1}$.બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 	an^{-1}\left(\frac{1}{k}ight) = \ln(k^{2}+1)$.

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુઓ $(2,1)$ અને $(k+1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $k > 0$,તો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+1}{x-3y+5} = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2} + xy$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module