વિકલ સમીકરણ $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $\cos x$ અને $\sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $a_{0} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a_{1} \frac{d y}{d x}+a_{2} y=0$ ના ઉકેલો હોય, જ્યાં $a_{0}, a_{1}$ અને $a_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે, તો નીચેનામાંથી કયું/કયા હંમેશા સાચું છે?

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} = \left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2 - y\right) \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $-2 \leq x \leq 2$ અને $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ હોય,તો $y^2(0)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y \sec^2 x = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \cdot \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=\frac{5}{4}$ છે. તો $12\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{-2}\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(0)=1$ સાથેનું વિકલનીય વિધેય છે અને તે તમામ $x, y \in R$ માટે સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ નું પાલન કરે છે. તો,$\log _e(f(4))$ ની કિંમત શોધો.